Bei einem Integral wie ∫ x · ex dx hilft die normale Potenz- oder Kettenregel oft nicht weiter. Die partielle Integration zerlegt solche Produkte in einen leichteren Term und ein neues Integral. Ich zeige, warum die Regel funktioniert, wie du die passenden Faktoren auswählst, welche Beispiele besonders lehrreich sind und an welchen Fehlern die Rechnung häufig scheitert.
Die Methode auf einen Blick
- Grundidee: Die Regel ist die Umkehrung der Produktregel.
- Formel: ∫ u · v′ dx = u · v - ∫ u′ · v dx.
- Auswahl: Ein Faktor sollte sich leicht ableiten, der andere leicht integrieren lassen.
- Anwendung: Besonders nützlich bei Produkten aus Polynomen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen.
- Kontrolle: Durch Ableiten der gefundenen Stammfunktion lässt sich jedes Ergebnis prüfen.
Warum diese Integrationsregel funktioniert
Die Methode folgt direkt aus der Produktregel der Differentialrechnung. Für zwei differenzierbare Funktionen gilt (u · v)′ = u′ · v + u · v′. Stellt man diese Gleichung nach u · v′ um und integriert, erhält man die zentrale Rechenregel.
∫ u · v′ dx = u · v - ∫ u′ · v dx
Üblicherweise schreibt man die Regel mit ∫ u dv = u v - ∫ v du. Dabei ist du die Ableitung von u und v eine Stammfunktion von dv. Der entscheidende Gedanke ist nicht, ein Produkt direkt zu integrieren, sondern die Ableitung geschickt auf den einfacheren Faktor zu verschieben.
Das Verfahren lohnt sich also nur, wenn das neue Integral einfacher als das ursprüngliche wird. Genau hier liegt der praktische Kern. Die Formel selbst ist schnell gelernt, die passende Aufteilung verlangt etwas Erfahrung.
So wähle ich die beiden Faktoren aus
Ich suche zuerst den Faktor, der beim Ableiten übersichtlicher wird. Der zweite Faktor sollte sich ohne großen Aufwand integrieren lassen. Eine hilfreiche Faustregel ist die Reihenfolge Logarithmus, inverse trigonometrische Funktion, Polynom, trigonometrische Funktion, Exponentialfunktion. Sie ist kein starres Gesetz, verhindert aber viele Fehlentscheidungen.
| Ausdruck im Integral | Sinnvolle Wahl für u | Sinnvolle Wahl für dv |
|---|---|---|
| x · ex | x | ex dx |
| x · sin x | x | sin x dx |
| ln x | ln x | dx |
| x2 · cos x | x2 | cos x dx |
Ein typischer Anfängerfehler ist, u und dv ohne Prüfung zu vertauschen. Bei x · ex wäre u = ex zwar formal erlaubt, aber wenig hilfreich, weil das neue Integral kaum einfacher wird. Ich frage mich deshalb immer: Welcher Faktor verliert durch das Ableiten sichtbar an Komplexität?
Drei Beispiele mit vollständigem Rechenweg
Polynom mal Exponentialfunktion
Betrachten wir ∫ x · ex dx. Ich setze u = x und dv = ex dx. Damit gelten du = dx und v = ex.
∫ x · ex dx = x · ex - ∫ ex dx
Das Ergebnis lautet daher x · ex - ex + C, also auch ex(x - 1) + C. Die Wahl war gut, weil sich das Polynom nach einer Ableitung vollständig vereinfacht.
Logarithmus ohne sichtbaren zweiten Faktor
Auch ∫ ln x dx ist ein passender Fall. Der Ausdruck enthält zwar kein offensichtliches Produkt, man kann ihn aber als ln x · 1 schreiben. Ich wähle u = ln x und dv = dx.
Dann ist du = 1/x dx und v = x. Die Regel liefert
∫ ln x dx = x ln x - ∫ x · 1/x dx = x ln x - ∫ 1 dx.
Damit ergibt sich ∫ ln x dx = x ln x - x + C. Für reelle x gilt dabei die Einschränkung x > 0, wenn der natürliche Logarithmus ohne Betragszeichen verwendet wird.
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Polynom mal trigonometrische Funktion
Beim Integral ∫ x · sin x dx setze ich erneut u = x und dv = sin x dx. Es folgt du = dx und v = -cos x.
∫ x · sin x dx = -x cos x + ∫ cos x dx
Somit ist eine Stammfunktion -x cos x + sin x + C. Das Beispiel zeigt, warum die Vorzeichen bei trigonometrischen Funktionen besondere Aufmerksamkeit brauchen: Die Stammfunktion von sin x enthält bereits ein Minuszeichen.
Wann eine zweite Anwendung nötig wird
Bei ∫ x2 · ex dx wird das Integral durch den ersten Schritt zwar kleiner, aber noch nicht fertig. Mit u = x2 und dv = ex dx erhält man
∫ x2 · ex dx = x2ex - 2∫ x · ex dx.
Das verbleibende Integral kennen wir bereits. Einsetzen führt zu ex(x2 - 2x + 2) + C. Bei einem Polynom vom Grad n braucht man in solchen Fällen höchstens n Wiederholungen, weil jede Ableitung den Grad um eins senkt.
Manchmal kehrt das ursprüngliche Integral nach zwei Anwendungen zurück. Ein bekanntes Beispiel ist ∫ ex cos x dx. Nach zweimaliger partieller Integration steht das Ausgangsintegral wieder auf der rechten Seite. Dann löse ich die entstandene Gleichung algebraisch nach dem Integral auf. Dieses Verfahren wirkt zunächst überraschend, ist aber vollkommen korrekt.
Bestimmte Integrale und die wichtigsten Fehler
Bei einem bestimmten Integral werden die Grenzen direkt in den Produktterm eingesetzt. Die Regel lautet
∫ab u · v′ dx = [u · v]ab - ∫ab u′ · v dx.
Ein Beispiel ist ∫01 x · ex dx. Mit der bekannten Stammfunktion folgt [ex(x - 1)]01 = 1. Die Integrationskonstante fällt bei bestimmten Integralen weg.
- Falsche Aufteilung: Wenn das neue Integral komplizierter wird, sollte die Wahl von u und dv überprüft werden.
- Vorzeichenfehler: Besonders bei sin x, cos x und mehrfachen Anwendungen passieren die meisten Fehler.
- Grenzen vergessen: Bei bestimmten Integralen gehört der gesamte Ausdruck u · v in die eckige Klammer.
- Konstante unterschlagen: Beim unbestimmten Integral muss am Ende immer + C stehen.
- Unnötige Anwendung: Eine einfache Substitution oder eine bekannte Stammfunktion ist oft der kürzere Weg.
Ich empfehle eine kurze Gegenprobe durch Ableiten. Sie dauert bei den meisten Aufgaben weniger als eine Minute und findet gerade die typischen Minus- oder Faktorfehler zuverlässig.
Die passende Methode statt blinder Routine
Die Produktintegration ist stark, aber nicht universell. Bei einem Ausdruck wie 2x · cos(x2) ist die Substitution meist besser, weil die innere Ableitung 2x bereits vorhanden ist. Bei rationalen Funktionen können dagegen Partialbruchzerlegung oder algebraische Umformungen sinnvoller sein.
| Struktur des Integrals | Oft geeigneter Ansatz |
|---|---|
| Produkt aus leicht ableitbarem und leicht integrierbarem Faktor | Partielle Integration |
| Äußere Funktion mit erkennbarer innerer Ableitung | Substitution |
| Bruch aus Polynomen | Partialbruchzerlegung oder Polynomdivision |
| Nur Potenzen von sin x und cos x | Trigonometrische Umformung |
Mein wichtigster Rat lautet deshalb: Erst die Struktur lesen, dann die Regel auswählen. Die schwierigste Entscheidung ist selten das Rechnen selbst, sondern zu erkennen, welche Umformung das Problem tatsächlich kleiner macht.
Die kurze Entscheidungshilfe für die nächste Stammfunktion
Steht ein Produkt im Integral, markiere den Faktor, der beim Ableiten einfacher wird, und integriere den anderen. Führe die Regel sauber mit du und v durch, achte auf Vorzeichen und prüfe das Ergebnis durch Ableiten.
Wenn nach dem ersten Schritt kein klarer Fortschritt entsteht, ist das kein Zeichen für eine komplizere Rechnung, sondern meist für eine ungeeignete Methode. Mit dieser kleinen Prüfung wird aus einer auswendig gelernten Formel ein verlässliches Werkzeug der Integralrechnung.
