Eine Gerade lässt sich nicht nur als Zeichnung oder als Funktion beschreiben. Die Parametergleichung einer Geraden zeigt Schritt für Schritt, wie aus einem festen Punkt und einer Richtung jeder Punkt der Geraden entsteht. Ich erkläre die Grundidee, das Aufstellen aus einem oder zwei Punkten, Beispiele in der Ebene und im Raum sowie die wichtigsten Prüfungen gegen typische Rechenfehler.
Mit zwei Vektoren wird jede Gerade eindeutig berechenbar
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Grundform:
g: x = p + t · u - Stützvektor: Er beschreibt einen festen Punkt auf der Geraden.
- Richtungsvektor: Er legt fest, in welche Richtung die Gerade verläuft.
- Parameter t: Für alle reellen Werte von t entstehen die Punkte der Geraden.
- Wichtig: Der Richtungsvektor darf niemals der Nullvektor sein.
Was die Parametergleichung einer Geraden aussagt
Die Standardform lautet g: x = p + t · u. Dabei ist p der Stützvektor, also der Ortsvektor eines bekannten Punkts, und u der Richtungsvektor. Der Parameter t darf jeden reellen Wert annehmen.
Anschaulich startet man beim Punkt P und geht entlang des Richtungsvektors. Bei t = 0 bleibt man im Startpunkt, bei t = 1 kommt man genau einen Richtungsvektor weiter. Negative Werte führen in die entgegengesetzte Richtung. Ich finde diese Vorstellung hilfreicher als das bloße Auswendiglernen der Formel, weil sie sofort erklärt, warum die Gleichung tatsächlich eine unendlich lange Gerade beschreibt.
In der zweidimensionalen Ebene schreibt man die Darstellung zum Beispiel so:
g: (x, y) = (2, 1) + t · (3, -2)
Die Koordinatenform dazu lautet:
x = 2 + 3ty = 1 - 2t
Ein entscheidender Punkt wird dabei oft übersehen. Der Richtungsvektor muss ungleich dem Nullvektor sein, denn ein Nullvektor würde keine Richtung festlegen und nur einen einzelnen Punkt erzeugen.
So stellst du die Vektorform sicher auf
Für eine Gerade brauchst du immer einen Punkt und eine Richtung. Ist ein Punkt A sowie ein Richtungsvektor gegeben, setzt du beide direkt in die Grundform ein:
g: x = a + t · u
Der Vektor a ist dabei der Ortsvektor von A. Liegen zwei Punkte A und B vor, gewinnst du die Richtung durch Subtraktion:
u = b - a
Ich verwende meistens den zweiten Punkt minus den ersten Punkt. Die umgekehrte Reihenfolge ist ebenfalls richtig, sie kehrt nur die Orientierung der Geraden um. Beide Varianten beschreiben dieselbe Punktmenge.
- Wähle einen der bekannten Punkte als Stützpunkt.
- Berechne den Verbindungsvektor mit
b - a. - Setze Stützvektor und Richtungsvektor in die Parameterform ein.
- Prüfe einen bekannten Punkt durch Einsetzen eines passenden Parameterwerts.
Bei ganzzahligen Koordinaten kann man den Richtungsvektor anschließend kürzen. Aus (6, -3) wird beispielsweise (2, -1). Das ändert die Gerade nicht, sondern nur die Geschwindigkeit, mit der sie bei wachsendem Parameter durchlaufen wird.
Zwei Beispiele, die den Aufbau greifbar machen
Eine Gerade in der Ebene
Gegeben seien A(2|1) und B(5|-1). Zuerst bilde ich den Richtungsvektor:
AB = (5, -1) - (2, 1) = (3, -2)
Damit lautet die Geradengleichung:
g: x = (2, 1) + t · (3, -2)
Die Koordinaten lassen sich einzeln ablesen:
x = 2 + 3ty = 1 - 2t
Für t = 0 erhält man A(2|1). Für t = 1 entsteht B(5|-1). Bei t = -1 liegt der Punkt (-1|3) auf derselben Geraden. Dieses Einsetzen ist eine schnelle und zuverlässige Punktprobe.
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Eine Gerade im dreidimensionalen Raum
Nun seien A(1|2|0) und B(4|-1|6) gegeben. Die Differenz der Ortsvektoren ergibt:
AB = (3, -3, 6)
Der Vektor lässt sich durch 3 teilen. Eine übersichtlichere Darstellung ist daher:
g: x = (1, 2, 0) + s · (1, -1, 2)
Der Punkt B wird hier mit s = 3 erreicht. Genau das zeigt, warum das Kürzen erlaubt ist. Der Richtungsvektor ist anders skaliert, aber seine Richtung bleibt gleich. Im Raum funktioniert der Aufbau also genauso wie in der Ebene, nur mit drei statt zwei Koordinaten.
Von der Parameterform zur Koordinaten- oder Normalform
In vielen Aufgaben wird zwischen verschiedenen Darstellungen gewechselt. Die Parameterform ist besonders stark, wenn Punkte erzeugt oder Lagebeziehungen untersucht werden. Die Koordinatenform ist dagegen in der Ebene oft bequemer, wenn man direkt mit einer Steigung arbeiten möchte.
Beispiel:
g: x = (2, 1) + t · (3, -2)
Aus der ersten Koordinate folgt:
t = (x - 2) / 3
Setzt man das in die zweite Koordinate ein, erhält man:
y = 1 - 2 · (x - 2) / 3
Nach dem Umformen ergibt sich:
y = -2/3 x + 7/3
Die Steigung beträgt also -2/3. Der Richtungsvektor (3, -2) enthält diese Information bereits: drei Schritte nach rechts entsprechen zwei Schritten nach unten. Bei einer senkrechten Geraden ist die Darstellung y = mx + b nicht möglich, während die Parameterform problemlos funktioniert. Genau dort zeigt sich ihr praktischer Vorteil.
| Darstellung | Besonders geeignet für | Wichtige Bestandteile |
|---|---|---|
| Parameterform | Punkte erzeugen, Schnittpunkte berechnen, Raumgeometrie | Stützvektor, Richtungsvektor, Parameter |
| Koordinatenform | Geraden in der Ebene mit endlicher Steigung | Steigung und y-Achsenabschnitt |
| Normalenform | Abstände und senkrechte Richtungen | Punkt und Normalenvektor |
Punktprobe, Schnittpunkt und typische Fehler
Um zu prüfen, ob ein Punkt P auf der Geraden liegt, setzt du seine Koordinaten in die Parameterdarstellung ein. In zwei Dimensionen müssen beide Gleichungen denselben Parameterwert liefern. Entsteht etwa aus der ersten Koordinate t = 2, aus der zweiten aber t = 3, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.
Für den Schnittpunkt zweier Geraden setzt man ihre Parameterdarstellungen gleich. Bei
g: x = a + t · uh: x = b + s · v
entsteht ein Gleichungssystem mit den Parametern t und s. Gibt es eine Lösung, erhält man den Schnittpunkt. Keine Lösung kann bei Geraden im Raum bedeuten, dass sie parallel oder windschief sind. Letztere liegen in keiner gemeinsamen Ebene und schneiden sich deshalb nicht.
Die häufigsten Fehler sind erstaunlich konstant:
- Der Richtungsvektor wird aus
A + Bstatt ausB - Aberechnet. - Der Parameter wird nur in eine Koordinate eingesetzt.
- Ein Punkt wird als Richtungsvektor und der Richtungsvektor als Stützvektor verwechselt.
- Der Nullvektor wird als Richtung verwendet.
- Beim Kürzen einzelner Komponenten wird die gemeinsame Teilbarkeit übersehen.
Ein Kontrollschritt hilft fast immer. Setze t = 0 ein. Dann muss der angegebene Stützpunkt herauskommen. Setze danach den Parameterwert ein, der zum zweiten bekannten Punkt gehört. Stimmen beide Proben, ist der Aufbau in der Regel korrekt.
Der Kontrollblick, der Rechenfehler sofort sichtbar macht
Ich merke mir die Parameterform nicht als starres Schema, sondern als Bewegungsvorschrift. Startpunkt plus beliebig viele Richtungsvektoren beschreibt die gesamte Gerade. Diese Sichtweise macht auch verständlich, warum unterschiedliche Gleichungen dieselbe Gerade darstellen können.
Vor der Abgabe prüfe ich deshalb drei Dinge. Der Stützvektor muss zu einem Punkt der Geraden gehören, der Richtungsvektor darf nicht null sein und bei zwei gegebenen Punkten muss die Differenzrechnung stimmen. Wer zusätzlich einmal t = 0 und einen zweiten passenden Wert einsetzt, findet die meisten Fehler, bevor sie in der weiteren Rechnung Probleme machen.
