Am Graphen von f lässt sich oft mehr ablesen, als die bloße Form zunächst vermuten lässt. Wer eine Ableitungsfunktion zeichnen möchte, muss vor allem erkennen, wie sich die Steigung verändert, wo sie null ist und an welchen Stellen der Ausgangsgraph seine Krümmung wechselt. Ich zeige eine zuverlässige Vorgehensweise, rechne zwei Beispiele durch und nehme typische Fehler unter die Lupe.
Die wichtigsten Regeln für eine verlässliche Skizze auf einen Blick
- Steigt f, liegt der Graph von f' oberhalb der x-Achse.
- Fällt f, verläuft f' unterhalb der x-Achse.
- Bei einem Hoch- oder Tiefpunkt von f gilt meistens f'(x) = 0.
- Ein Wendepunkt von f entspricht bei glatten Funktionen einem Extrempunkt von f'.
- Die y-Werte von f' sind Steigungen, nicht die Funktionswerte von f.
Was der Graph von f' überhaupt zeigt
Die Ableitung ordnet jeder x-Stelle die Tangentensteigung des ursprünglichen Graphen zu. Ist die Tangente waagerecht, beträgt der Ableitungswert null. Verläuft sie beispielsweise mit der Steigung 2 nach oben, liegt der Punkt des Ableitungsgraphen bei y = 2.
Das Vorzeichen liefert die erste grobe Orientierung. Ein wachsender Graph von f führt zu positiven Werten von f', ein fallender Graph zu negativen. Bei einer waagerechten Tangente berührt oder schneidet der Ableitungsgraph die x-Achse.
| Verhalten von f | Aussage über f' |
|---|---|
| f steigt | f'(x) > 0 |
| f fällt | f'(x) < 0 |
| waagerechte Tangente | f'(x) = 0 |
| zunehmend steiler Anstieg | f' wächst |
| abnehmende Steigung | f' fällt |
Ich behandle den Ableitungsgraphen gern wie ein Steigungsmessgerät. Die Höhe eines Punktes sagt nicht, wie hoch f an dieser Stelle liegt, sondern wie stark f dort nach oben oder unten läuft. Genau diese Unterscheidung verhindert viele falsche Skizzen.
In fünf Schritten vom Ausgangsgraphen zur Skizze
1. Koordinatensystem und auffällige Stellen prüfen
Zuerst kontrolliere ich die Einheiten beider Achsen. Ein Steigungsdreieck mit 2 Kästchen nach rechts und 1 Kästchen nach oben bedeutet bei gleicher Skalierung eine Steigung von 0,5. Unterschiedliche Einteilungen können diesen Eindruck allerdings deutlich verändern.
Danach markiere ich Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte, Sattelpunkte und Stellen mit Knicken. Diese Punkte liefern die wichtigsten Informationen, bevor ich überhaupt eine Kurve einzeichne.
2. Steigungsbereiche bestimmen
Ich teile den Graphen in Abschnitte und frage für jeden Abschnitt, ob f steigt oder fällt. So entsteht zunächst eine einfache Vorzeichen-Tabelle. Besonders hilfreich ist der Blick auf die steilsten Stellen, denn dort nimmt f' betragsmäßig große Werte an.
- Steigt f von links nach rechts, zeichne ich f' über der x-Achse.
- Fällt f, liegt f' unter der x-Achse.
- Wird der Anstieg stärker, muss f' nach oben gehen.
- Wird der Anstieg schwächer, muss f' nach unten gehen.
3. Nullstellen der Ableitung eintragen
Jeder Extrempunkt mit waagerechter Tangente erzeugt einen Punkt auf der x-Achse des Ableitungsgraphen. Bei einem Hochpunkt wechselt die Steigung typischerweise von positiv zu negativ, deshalb schneidet f' dort die x-Achse von oben nach unten. Bei einem Tiefpunkt erfolgt der Wechsel von negativ zu positiv.
Ein stationärer Wendepunkt ist ein Sonderfall. Dort ist die Tangente ebenfalls waagerecht, aber f bleibt auf beiden Seiten beispielsweise steigend. Dann berührt f' die x-Achse möglicherweise nur, ohne das Vorzeichen zu wechseln.
4. Einige konkrete Steigungen messen
Für eine brauchbare Skizze reichen oft vier bis sechs Messstellen. Ich lege dort gedanklich oder mit dem Lineal eine Tangente an und bestimme ihre Steigung mit
m = Höhenänderung / waagerechte Änderung.
Eine Tangente, die pro 1 Einheit nach rechts um 2 Einheiten steigt, liefert den Punkt (x, 2) auf f'. Eine waagerechte Tangente liefert (x, 0), eine fallende Tangente mit Steigung -1 entsprechend (x, -1). Die Messwerte müssen nicht perfekt sein, sollten aber zueinander passen.
5. Punkte passend verbinden
Erst jetzt verbinde ich die Punkte zu einer Kurve. Dabei achte ich darauf, dass f' dort steigt, wo die Steigung von f zunimmt, und fällt, wo sie abnimmt. Ein glatter Ausgangsgraph führt in der Regel zu einem glatten Ableitungsgraphen, während ein Knick eine nicht vorhandene Ableitung anzeigen kann.
Die Zeichnung ist damit keine exakte Kopie der Ausgangskurve. Sie ist eine qualitative Rekonstruktion des Steigungsverlaufs. Eine saubere Skizze muss deshalb vor allem Vorzeichen, Nullstellen, Extrempunkte und die ungefähre Größenordnung der Steigungen richtig wiedergeben.
Extrempunkte, Wendestellen und Sonderfälle richtig übertragen
Extrempunkte der Funktion
Am Hoch- oder Tiefpunkt von f ist die Tangente waagerecht. Deshalb gilt dort in vielen schulischen Aufgaben f'(x) = 0. Entscheidend ist aber nicht nur der Punkt selbst, sondern der Vorzeichenwechsel: Schneidet f' die x-Achse, handelt es sich meist um ein echtes lokales Extremum von f.
Bei einem Randpunkt oder einer Stelle, an der der Definitionsbereich endet, darf man diese Regel nicht unkritisch anwenden. Dort kann zwar ein Maximum oder Minimum vorliegen, ohne dass eine beidseitige waagerechte Tangente existiert.
Wendepunkte der Funktion
An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung des Graphen. Bei einer zweimal differenzierbaren Funktion ist dort die Steigung lokal besonders groß oder besonders klein. Daher besitzt f' an dieser x-Stelle häufig einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Die Umkehrung muss ebenfalls mit Bedacht gelesen werden. Nicht jede Stelle mit f''(x) = 0 ist automatisch ein Wendepunkt. Die Krümmung muss tatsächlich das Vorzeichen wechseln, sonst entsteht daraus nicht zwingend ein Extrempunkt der ersten Ableitung.
Knicke und senkrechte Tangenten
Bei einem Knick, etwa bei f(x) = |x| an der Stelle x = 0, existiert keine eindeutige Tangentensteigung. Die Ableitung ist dort nicht definiert. Im Bild von f' bleibt an dieser Stelle also eine Lücke oder eine nicht ausgefüllte Stelle, sofern die Aufgabe den gesamten Definitionsbereich betrachtet.
Auch eine senkrechte Tangente ist problematisch, weil ihre Steigung nicht als endliche Zahl angegeben werden kann. Der Ableitungsgraph kann sich dort sehr stark nach oben oder unten entwickeln, aber man sollte keinen gewöhnlichen Punkt mit einem beliebigen hohen y-Wert eintragen.
Zwei Beispiele mit konkreten Punkten
Eine Parabel führt zu einer Geraden
Betrachten wir f(x) = x² - 4x + 3. Die Funktion besitzt ihren Tiefpunkt bei x = 2. Dort ist die Tangente waagerecht, also muss der Ableitungsgraph durch (2, 0) verlaufen.
Die Ableitung lautet f'(x) = 2x - 4. Daraus folgen beispielsweise die Punkte (0, -4), (2, 0) und (4, 4). Links vom Scheitel fällt die Parabel, deshalb ist f' negativ. Rechts davon steigt sie, weshalb f' positiv wird. Das Ergebnis ist eine steigende Gerade.
Dieses Beispiel zeigt eine wichtige Grundidee. Die Höhe des Parabelscheitels, also f(2) = -1, hat für den Punkt der Ableitung keine direkte Bedeutung. Entscheidend ist dort allein die Steigung null.
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Eine kubische Funktion zeigt den Zusammenhang mit Wendepunkten
Nun sei f(x) = x³ - 3x. Die Ableitung ist f'(x) = 3x² - 3. Die Extrempunkte der Ausgangsfunktion liegen bei x = -1 und x = 1, denn dort wird f' null.
Bei x = 0 liegt der Wendepunkt von f. Dort besitzt f' den Tiefpunkt (0, -3). Die Steigung von f ist an dieser Stelle also am stärksten negativ. Für die Skizze genügen die drei markanten Punkte (-1, 0), (0, -3) und (1, 0), ergänzt durch das Wissen, dass f' außerhalb dieser Punkte wieder nach oben wächst.
Gerade bei kubischen Funktionen wird sichtbar, warum man nicht nur Nullstellen übertragen darf. Zwei Nullstellen allein sagen noch nicht, ob der Ableitungsgraph eine nach oben oder nach unten geöffnete Kurve ist. Der Krümmungsverlauf von f liefert diese zusätzliche Information.
Typische Fehler und eine sinnvolle digitale Kontrolle
Der häufigste Fehler besteht darin, Punkte des Graphen von f direkt in f' zu übertragen. Aus (x, f(x)) wird nicht automatisch (x, f'(x)). Nur die x-Stelle bleibt gleich, während der neue y-Wert die dortige Tangentensteigung darstellt.
- Ein Extrempunkt von f wird nicht zum Extrempunkt von f', sondern in der Regel zu einer Nullstelle.
- Ein Wendepunkt von f wird nicht zur Nullstelle von f', sondern oft zum Extrempunkt von f'.
- Ein steigender Graph bedeutet nicht automatisch eine stark steigende Ableitung. Er kann auch nur mit gleichbleibender Steigung steigen.
- Die Skalierung der Achsen darf bei Steigungsdreiecken nicht übersehen werden.
- Bei Knicken und senkrechten Tangenten muss geprüft werden, ob die Ableitung überhaupt existiert.
Für eine Kontrolle nutze ich digitale Werkzeuge wie GeoGebra erst nach der eigenen Skizze. Man kann die Tangente an mehreren Stellen einblenden und den gemessenen Steigungswert mit dem y-Wert von f' vergleichen. Das ist hilfreich, ersetzt aber nicht die Begründung, warum der Graph oberhalb oder unterhalb der x-Achse verläuft.
Besonders gut funktioniert die Kontrolle mit drei Fragen: Stimmen die Nullstellen? Hat f' überall das richtige Vorzeichen? Liegen die Extrempunkte von f' an den Wendestellen von f? Wenn alle drei Antworten passen, ist die qualitative Zeichnung meistens solide.
Die beste Plausibilitätsprüfung folgt dem Steigungsverlauf
Ich würde eine solche Aufgabe nie mit dem Aussehen der Kurve allein lösen. Entscheidend ist die kleine Geschichte, die der Graph erzählt: erst fällt er, dann wird die Tangente waagerecht, danach steigt er, und an der Wendestelle verändert sich die Steigung besonders stark.
Wer diesen Verlauf in Worte fassen kann, findet die Form von f' meist fast automatisch. Vorzeichen, Nullstellen und die Änderung der Steigung sind die drei Kontrollpunkte, die mehr Sicherheit geben als eine scheinbar exakte, aber inhaltlich falsch übertragene Zeichnung.
